Вопрос школьника
Максимальная кинетическая энергия материальной точки массой 10 г, совершающей гармонические колебания с периодом 2 с, равна 100 мкДж. С какой амплитудой происходят колебания?
Ответ от учителя
Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для кинетической энергии гармонического осциллятора:
$E_k = frac{1}{2} m omega^2 A^2$
где $m$ — масса материальной точки, $omega$ — угловая частота колебаний, $A$ — амплитуда колебаний.
Период колебаний $T$ связан с угловой частотой $omega$ следующим образом:
$T = frac{2pi}{omega}$
Отсюда можно выразить угловую частоту:
$omega = frac{2pi}{T}$
Подставляя выражение для угловой частоты в формулу для кинетической энергии, получим:
$E_k = frac{1}{2} m left(frac{2pi}{T}right)^2 A^2$
Из условия задачи известны значения массы $m$, периода $T$ и кинетической энергии $E_k$. Подставляя их в формулу, получим:
$100 cdot 10^{-6} text{ Дж} = frac{1}{2} cdot 0.01 text{ кг} cdot left(frac{2pi}{2 text{ с}}right)^2 A^2$
Решая уравнение относительно амплитуды $A$, получим:
$A = sqrt{frac{2E_k}{momega^2}} = sqrt{frac{2 cdot 100 cdot 10^{-6} text{ Дж}}{0.01 text{ кг} cdot left(frac{2pi}{2 text{ с}}right)^2}} approx 0.05 text{ м}$
Таким образом, амплитуда колебаний материальной точки равна примерно 5 см.
