Вопрос школьника
Максимальная скорость vmax точки, совершающей гармонические колебания, равна 10 см/с, максимальное ускорение amax=100 см/с2. Найти угловую частоту ω колебаний, их период T и амплитуду A. Написать уравнение колебаний, приняв начальную фазу равной нулю
Ответ от учителя
Для начала, необходимо понять, что гармонические колебания описываются уравнением:
x = A*sin(ωt + φ)
где x — перемещение точки, A — амплитуда колебаний, ω — угловая частота, t — время, φ — начальная фаза.
Максимальная скорость точки равна 10 см/с, что означает, что производная от x по времени (скорость) достигает максимального значения. Максимальное значение производной от x по времени равно:
vmax = A*ω*cos(ωt + φ)
Так как vmax = 10 см/с, то:
10 = A*ω*cos(ωt + φ)
Максимальное ускорение точки равно 100 см/с2, что означает, что производная от скорости по времени (ускорение) достигает максимального значения. Максимальное значение производной от скорости по времени равно:
amax = -A*ω2*sin(ωt + φ)
Так как amax = 100 см/с2, то:
100 = -A*ω2*sin(ωt + φ)
Разделим уравнения для vmax и amax:
cos(ωt + φ) = 10/(A*ω)
sin(ωt + φ) = -100/(A*ω2)
Возведем оба уравнения в квадрат и сложим:
cos2(ωt + φ) + sin2(ωt + φ) = 1
10000/ω4 + 100/ω2 = 1
Перенесем все члены в левую часть уравнения:
10000/ω4 + 100/ω2 — 1 = 0
Решим это уравнение относительно ω2:
ω2 = 100/(2±√3)
Так как ω2 > 0, то:
ω2 = 100/(2+√3)
ω = √(100/(2+√3))
ω ≈ 8.66 рад/с
Теперь, зная угловую частоту, можно найти период колебаний:
T = 2π/ω
T ≈ 0.725 с
Также, зная угловую частоту и максимальную скорость, можно найти амплитуду колебаний:
A = vmax/ω
A ≈ 1.15 см
И, наконец, уравнение колебаний с начальной фазой равной нулю:
x = A*sin(ωt) = 1.15*sin(8.66t)
