Вопрос школьника
Масса m=1 кг воздуха, находящегося при давлении p1=150 кПа и температуре t1=30 °C, расширяется адиабатически и давление при этом падает до p2=100 кПа. Во сколько раз увеличился объем воздуха? Найти конечную температуру t2 и работу A, совершенную газом при расширении
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
pV = mRT
где p — давление, V — объем, m — масса газа, R — универсальная газовая постоянная, T — температура.
Так как процесс расширения адиабатический, то газ не обменивает тепло с окружающей средой, то есть процесс происходит без изменения энтропии:
p1V1^γ = p2V2^γ
где γ — показатель адиабаты, который для воздуха примерно равен 1,4.
Из уравнения состояния идеального газа можно выразить начальный объем V1:
V1 = mRT1/p1
Аналогично, конечный объем V2:
V2 = mRT2/p2
Подставляя эти выражения в уравнение адиабатического процесса, получаем:
p1(mRT1/p1)^γ = p2(mRT2/p2)^γ
Упрощая выражение, получаем:
(T2/T1) = (p2/p1)^((γ-1)/γ)
Таким образом, мы можем найти конечную температуру T2:
T2 = T1*(p2/p1)^((γ-1)/γ)
Подставляя известные значения, получаем:
T2 = 30*(100/150)^((1.4-1)/1.4) ≈ 24,5 °C
Чтобы найти увеличение объема, можно воспользоваться соотношением:
V2/V1 = (p1/p2)^(1/γ)
Подставляя известные значения, получаем:
V2/V1 = (150/100)^(1/1.4) ≈ 1,18
Таким образом, объем воздуха увеличился примерно в 1,18 раз.
Наконец, чтобы найти работу, совершенную газом при расширении, можно воспользоваться формулой:
A = m*Cp*(T1-T2)
где Cp — удельная теплоемкость при постоянном давлении.
Для воздуха Cp ≈ 1 кДж/(кг*К).
Подставляя известные значения, получаем:
A = 1*(1*10^3)*(30-24,5) ≈ 5 кДж
Таким образом, газ совершил работу в размере примерно 5 кДж при расширении.
