Вопрос школьника
Математический маятник длиной l=24,7 см совершает затухающие колебания. Через какое время t энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза? Задачу решить при значении логарифмического декремента затухания:
а) N=0,01;
б) N=1.
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится формула для энергии колебаний математического маятника:
E = (mgl^2/2)(e^(-N*pi))
где m — масса маятника, g — ускорение свободного падения, l — длина маятника, N — логарифмический декремент затухания.
Для нахождения времени, через которое энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза, нам нужно использовать соотношение между энергией и логарифмическим декрементом затухания:
E(t) = E(0)*e^(-N*pi*t)
где E(0) — начальная энергия колебаний маятника.
Таким образом, для решения задачи нам нужно сначала найти начальную энергию колебаний маятника, а затем решить уравнение для времени t.
а) При N=0,01:
Начальная энергия колебаний маятника:
E(0) = (mgl^2/2)
В нашем случае масса маятника не указана, но мы можем использовать формулу для периода колебаний математического маятника:
T = 2*pi*sqrt(l/g)
и выразить массу маятника через период и длину:
m = T^2*g/(4*pi^2*l)
Подставляя это выражение для массы в формулу для начальной энергии, получаем:
E(0) = (T^2*g*l/8*pi^2)
Подставляя значения l=24,7 см и g=9,81 м/с^2, получаем:
E(0) = 0,0038 Дж
Теперь можем решить уравнение для времени t:
E(t) = E(0)*e^(-N*pi*t)
0,0038/9,4 = 0,0004*e^(-0,01*pi*t)
e^(-0,01*pi*t) = 0,0038/9,4/0,0004
e^(-0,01*pi*t) = 2,02
-0,01*pi*t = ln(2,02)
t = -ln(2,02)/(-0,01*pi)
t = 0,22 сек
б) При N=1:
Начальная энергия колебаний маятника:
E(0) = (mgl^2/2)(e^(-pi))
Аналогично предыдущему пункту, можем выразить массу маятника через период и длину:
m = T^2*g/(4*pi^2*l)
Подставляя это выражение для массы в формулу для начальной энергии, получаем:
E(0) = (T^2*g*l/8*pi^2)(e^(-pi))
Подставляя значения l=24,7 см и g=9,81 м/с^2, получаем:
E(0) = 0,0002 Дж
Теперь можем решить уравнение для времени t:
E(t) = E(0)*e^(-N*pi*t)
0,0002/9,4 = 0,0002*e^(-pi*t)
e^(-pi*t) = 1/9,4
-pi*t = ln(1/9,4)
t = ln(9,4)/pi
t = 0,94 сек
Таким образом, при N=0,01 энергия колебаний маятника уменьшится в 9,4 раза через 0,22 сек, а при N=1 — через 0,94 сек.
