Вопрос школьника
Математический маятник с длиной нити подвеса L и массой m соединён с горизонтальной невесомой пружиной жёсткостью k. Определить период малых колебаний системы. Как изменится ответ, если пружину заменить резиновой лентой с эквивалентной длиной и жёсткостью?
Ответ от учителя
Математический маятник — это система, состоящая из точечной массы, подвешенной на невесомой нити длиной L. При малых колебаниях маятник можно рассматривать как гармонический осциллятор, для которого период колебаний определяется формулой:
T = 2π√(L/g)
где g — ускорение свободного падения.
Если к маятнику добавить горизонтальную невесомую пружину жесткости k, то система становится двухстепенной. При малых колебаниях маятника с пружиной можно рассматривать как гармонический осциллятор, для которого период колебаний определяется формулой:
T = 2π√(m/k)
где m — масса маятника, k — жесткость пружины.
Если пружину заменить резиновой лентой с эквивалентной длиной и жесткостью, то период колебаний системы изменится. Для резиновой ленты жесткость определяется коэффициентом упругости, который зависит от материала и геометрии ленты. Период колебаний системы с резиновой лентой можно определить по формуле:
T = 2π√(m/k’)
где k’ — эквивалентная жесткость резиновой ленты.
Для определения эквивалентной жесткости резиновой ленты можно использовать закон Гука:
F = k’x
где F — сила, действующая на ленту, x — ее удлинение. Из этого закона следует, что жесткость резиновой ленты равна отношению силы к удлинению:
k’ = F/x
Эквивалентную длину ленты можно определить из условия, что она создает такую же силу, что и пружина жесткости k при удлинении на L:
kL = k’x’
где x’ — удлинение резиновой ленты при создании силы kL.
Из этих формул можно определить период колебаний системы с резиновой лентой. Он будет отличаться от периода колебаний системы с пружиной жесткости k.
