Вопрос школьника
Математический маятник с массой груза m = 0,1 кг и с длиной нити подвеса l = 1 м, отклоняется при колебаниях на расстояние А = 5 см. Какую скорость, ускорение и потенциальную энергию будет иметь маятник на расстоянии ζ = 2 см от положения равновесия?
Ответ от учителя
Математический маятник — это система, состоящая из груза, подвешенного на нити, которая может свободно колебаться в вертикальной плоскости. При этом груз движется по дуге окружности, а его движение описывается уравнением гармонического осциллятора:
x = A*cos(ωt + φ)
где x — смещение груза от положения равновесия, A — амплитуда колебаний, ω — угловая частота колебаний, t — время, φ — начальная фаза колебаний.
Для математического маятника угловая частота колебаний определяется формулой:
ω = √(g/l)
где g — ускорение свободного падения, l — длина нити подвеса.
В нашем случае:
l = 1 м
g = 9,81 м/с²
Отсюда:
ω = √(9,81/1) ≈ 3,13 рад/с
Амплитуда колебаний A = 5 см = 0,05 м.
При смещении груза на расстояние ζ = 2 см = 0,02 м от положения равновесия его скорость и ускорение можно найти, используя следующие формулы:
v = -A*ω*sin(ωt + φ)
a = -A*ω²*cos(ωt + φ)
где знак «-» означает, что скорость и ускорение направлены в противоположную сторону от смещения груза от положения равновесия.
Для нахождения начальной фазы φ можно использовать условие, что при смещении груза от положения равновесия его скорость равна нулю:
v = 0 = -A*ω*sin(φ)
Отсюда:
sin(φ) = 0
φ = k*π, где k — целое число.
Так как груз движется вниз при смещении на расстояние ζ = 2 см, то начальная фаза φ = π.
Теперь можно найти скорость и ускорение груза при смещении на расстояние ζ = 2 см:
v = -A*ω*sin(ωt + φ) = -0,05*3,13*sin(3,13t + π) ≈ 0,157 м/с
a = -A*ω²*cos(ωt + φ) = -0,05*3,13²*cos(3,13t + π) ≈ -0,491 м/с²
Потенциальная энергия груза в точке смещения ζ = 2 см от положения равновесия определяется формулой:
U = m*g*l*(1 — cos(θ))
где θ — угол между нитью подвеса и вертикалью.
Для нахождения угла θ можно использовать теорему косинусов:
cos(θ) = (l² + ζ² — 2*l*ζ*cos(π)) / (2*l*ζ)
cos(π) = -1
cos(θ) = (1² + 0,02² + 2*1*0,02) / (2*1*0,02) ≈ 0,999
Отсюда:
θ ≈ 0,05 рад
U = m*g*l*(1 — cos(θ)) ≈ 0,049 Дж
Таким образом, при смещении груза на расстояние ζ = 2 см от положения равновесия его скорость составляет примерно 0,157 м/с, ускорение — примерно -0,491 м/с², а потенциальная энергия — примерно 0,049 Дж.
