Вопрос школьника
Математический маятник в течение 120 секунд уменьшил амплитуду колебаний в 4 раза. Определить величину логарифмического декремента, если длина нити подвеса составляет l = 2,28 м.
Ответ от учителя
Математический маятник описывается уравнением:
θ(t) = A*e^(-γt)*cos(ωt + φ)
где θ(t) — угол отклонения маятника в момент времени t, A — амплитуда колебаний, γ — коэффициент затухания, ω — угловая частота колебаний, φ — начальная фаза колебаний.
Логарифмический декремент δ определяется как отношение логарифма отношения амплитуд двух последовательных колебаний к числу колебаний:
δ = ln(A_n/A_{n+1})/n
где A_n — амплитуда n-го колебания, A_{n+1} — амплитуда (n+1)-го колебания, n — число колебаний.
Из условия задачи известно, что амплитуда колебаний уменьшилась в 4 раза за 120 секунд. Это означает, что отношение амплитуд двух последовательных колебаний равно 1/4:
A_n/A_{n+1} = 1/4
Также известна длина нити подвеса l = 2,28 м. Угловая частота колебаний ω связана с длиной нити и ускорением свободного падения g следующим образом:
ω = sqrt(g/l)
Таким образом, для определения логарифмического декремента δ необходимо знать начальную амплитуду A и число колебаний n.
Начальную амплитуду можно найти из условия, что амплитуда уменьшилась в 4 раза за 120 секунд:
A*e^(-γ*120) = A/4
e^(-γ*120) = 1/4
-γ*120 = ln(1/4)
γ = ln(4)/120
γ ≈ 0,0146 с^-1
Число колебаний n можно оценить, замерив время T, за которое амплитуда уменьшится в 2 раза:
A*e^(-γT) = A/2
e^(-γT) = 1/2
-γT = ln(1/2)
T = ln(2)/γ
T ≈ 47,6 с
За 120 секунд происходит примерно 2,5 колебания:
n = 2.5
Теперь можно вычислить начальную амплитуду A:
A*e^(-γT) = A/2
A*e^(-γ*ln(2)/γ) = A/2
A*e^(-ln(2)) = A/2
A = 2
Таким образом, начальная амплитуда A = 2 м, число колебаний n = 2.5, коэффициент затухания γ ≈ 0,0146 с^-1. Подставляя эти значения в формулу для логарифмического декремента, получаем:
δ = ln(A_n/A_{n+1})/n
δ = ln(2/0.5)/(2.5)
δ ≈ 0.6931
Ответ: логарифмический декремент равен примерно 0.6931.
