Вопрос школьника
Маятник, представляющий собой груз, подвешенный на невесомой нити длиной l = 0,5 м, совершает колебательное движение с амплитудой А = 0,5 м, при этом максимальная сила натяжения подвеса равна Tm = 100 Н. Определить массу груза
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения энергии. В начальный момент времени, когда груз находится в точке равновесия, его потенциальная энергия равна нулю, а его кинетическая энергия максимальна. При максимальном отклонении груза от точки равновесия, его потенциальная энергия максимальна, а кинетическая энергия равна нулю. Таким образом, максимальная потенциальная энергия груза равна максимальной кинетической энергии груза.
Максимальная потенциальная энергия груза вычисляется по формуле:
Ep = mgh,
где m — масса груза, g — ускорение свободного падения (принимаем равным 9,8 м/с²), h — высота подъема груза относительно точки равновесия.
Максимальная кинетическая энергия груза вычисляется по формуле:
Ek = (mv²)/2,
где v — скорость груза в точке максимального отклонения от точки равновесия.
Так как максимальная сила натяжения подвеса равна Tm = 100 Н, то максимальная сила тяжести груза равна Tm = mg, откуда можно выразить массу груза:
m = Tm/g = 100/9,8 ≈ 10,2 кг.
Далее, для вычисления высоты подъема груза относительно точки равновесия можно воспользоваться теоремой косинусов:
h = l — l*cos(α),
где α — угол максимального отклонения груза от точки равновесия, который можно выразить через амплитуду колебаний:
α = arcsin(A/l) = arcsin(0,5/0,5) = 30°.
Таким образом, высота подъема груза относительно точки равновесия равна:
h = 0,5 — 0,5*cos(30°) ≈ 0,43 м.
Теперь можно вычислить максимальную потенциальную энергию груза:
Ep = mgh = 10,2*9,8*0,43 ≈ 44,5 Дж.
Из закона сохранения энергии следует, что максимальная кинетическая энергия груза также равна 44,5 Дж. Так как в точке максимального отклонения от точки равновесия кинетическая энергия равна нулю, то скорость груза в этой точке также равна нулю. Следовательно, максимальная скорость груза достигается в точке равновесия и равна:
v = √(2Ek/m) = √(2*44,5/10,2) ≈ 3,3 м/с.
Таким образом, масса груза, подвешенного на невесомой нити длиной 0,5 м и с амплитудой колебаний 0,5 м, равна примерно 10,2 кг.
