Вопрос школьника
Медиана AD и высота СЕ равнобедренного треугольника ABC (АВ = ВС) пересекаются в точке Р. Найдите площадь треугольника ABC, если СР = 5,РЕ = 2.
Ответ от учителя
Для начала, нарисуем равнобедренный треугольник ABC с медианой AD и высотой CE, пересекающимися в точке P:
«`
B
/
/
/
A/___P___C
|
|
D
«`
Так как треугольник ABC равнобедренный, то медиана AD также является биссектрисой угла BAC. Значит, угол BAP равен углу CAP, и треугольники ABP и ACP подобны. Аналогично, треугольники BCP и BAP подобны.
Таким образом, мы можем записать следующие соотношения между сторонами треугольника ABC:
AB / BP = AC / CP
BC / BP = AB / AP
Из первого уравнения мы можем выразить BP через AB и CP:
BP = AB * CP / AC
Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем:
BC / (AB * CP / AC) = AB / AP
Отсюда можно выразить AP через AB, AC и BC:
AP = AB^2 / (2 * CP)
Теперь мы можем выразить площадь треугольника ABC через высоту CE:
S = 2 * AP * CE = AB^2 * CE / CP
Заметим, что CE является медианой треугольника ABC, а значит, делит его на две равные части. Таким образом, мы можем записать:
S = AB * CE^2 / 2CP
Теперь осталось только подставить известные значения:
CP = 5
CE = 2
AB = BC = x (так как треугольник равнобедренный)
Из уравнения CE = sqrt(2AD^2 — x^2) можно выразить AD:
AD = sqrt((CE^2 + x^2) / 2) = sqrt(5)
Теперь мы можем выразить CP через AD и AB:
CP = 2AD^2 / AB = 10 / x
Подставляя все значения в формулу для площади, получаем:
S = x * 2^2 / 2 * 10 / x = x^2 / 10
Таким образом, площадь треугольника ABC равна x^2 / 10. Осталось только найти значение x. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ACP:
AC^2 = AP^2 + CP^2
AC = 2x (так как треугольник равнобедренный)
AP = x^2 / (2CP) = x^2 / 20
CP = 5
Подставляя значения, получаем:
(2x)^2 = (x^2 / 20)^2 + 5^2
Решая это уравнение, получаем:
x = 10
Таким образом, площадь треугольника ABC равна:
S = 10^2 / 10 = 100 / 10 = 10.
