Вопрос школьника
Медиана AD треугольника ABC продолжена за сторону ВС на отрезок DE, равный отрезку AD, и точка Е соединена с точкой С. Найдите величину угла АСЕ, если ∠ACD = 56°, ∠ABD = 40°.
Ответ от учителя
Пусть точка F — середина стороны BC треугольника ABC. Тогда, так как медиана AD проходит через точку F, то AF является высотой треугольника ADE. Также, так как DE = AD, то треугольник ADE является равнобедренным, а значит, ∠DAE = ∠DEA.
Так как AF является высотой треугольника ADE, то ∠AFE = 90°. Также, так как треугольник ABC является подобным треугольнику ADE, то ∠BAC = ∠DAE.
Теперь рассмотрим треугольник ACF. Так как ∠ACD = 56°, то ∠ACF = 90° — 56° = 34°. Также, так как BF является медианой треугольника ABC, то AF = FB. А значит, треугольник ACF является равнобедренным, и ∠CAF = ∠CFA.
Таким образом, мы получили, что ∠BAC = ∠DAE = ∠CAF. Также, так как точка Е соединена с точкой С, то ∠ACE = ∠ACF + ∠FCE. Подставляя значения ∠ACF и ∠DAE, получаем:
∠ACE = ∠CAF + ∠FCE = ∠BAC + ∠FCE = ∠DAE + ∠FCE = ∠DEA + ∠FCE = ∠FEA + ∠FCE
Так как треугольник ACF является равнобедренным, то ∠CAF = ∠CFA = (180° — ∠ACF)/2 = (180° — 34°)/2 = 73°. Также, так как треугольник ADE является равнобедренным, то ∠DAE = (180° — ∠ADE)/2 = (180° — 2∠BAC)/2 = 90° — ∠BAC.
Таким образом, мы получили, что ∠ACE = (90° — ∠BAC) + ∠FCE = (90° — ∠BAC) + (180° — ∠AFE) = (90° — ∠BAC) + (180° — 90°) = 90° + 90° — ∠BAC = 180° — ∠BAC.
Итак, мы получили, что ∠ACE = 180° — ∠BAC. Подставляя значение ∠BAC = ∠DAE = 90° — ∠ACD — ∠ABD = 90° — 56° — 40° = 6°, получаем:
∠ACE = 180° — ∠BAC = 180° — 6° = 174°.
Ответ: угол АСЕ равен 174°.