Вопрос школьника
Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые к гипотенузе, равны соответственно 13 см и 12 см. Найдите периметр данного треугольника.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенуза c. Тогда медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть c/2. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, то есть ab/c.
Из условия задачи имеем систему уравнений:
c/2 = 13
ab/c = 12
Отсюда можно выразить c и ab:
c = 26
ab = 312
Так как треугольник прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем:
a^2 + b^2 = c^2
Подставляя найденное значение c, получаем:
a^2 + b^2 = 676
Также известно, что высота, проведенная к гипотенузе, равна ab/c. Подставляя найденные значения ab и c, получаем:
h = 24
Теперь можем найти катеты a и b:
ab = 312
a^2 + b^2 = 676
Решая эту систему уравнений, получаем:
a = 12
b = 26
Таким образом, периметр треугольника равен:
P = a + b + c = 12 + 26 + 26 = 64 см.
