Вопрос школьника
Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна 10 см, а расстояние между серединой гипотенузы и основанием высоты треугольника, проведённой к гипотенузе, равно 6 см, Найдите периметр данного треугольника.
Ответ от учителя
Пусть прямоугольный треугольник имеет катеты a и b, а гипотенузу c. Тогда медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы, то есть c/2. По условию задачи, c/2 = 10, откуда c = 20.
Расстояние между серединой гипотенузы и основанием высоты, проведенной к гипотенузе, равно половине высоты. Поэтому, если h — высота треугольника, то h/2 = 6, откуда h = 12.
Теперь можем найти катеты a и b, используя формулу для площади прямоугольного треугольника: S = ab/2 = ch/2 = 120. Из уравнения c^2 = a^2 + b^2 следует, что a^2 = c^2 — b^2 = 400 — b^2. Подставляя это выражение в формулу для площади, получаем:
b^2 * h = 240
b^2 = 240/h = 20
a^2 = 400 — b^2 = 380
Таким образом, a = sqrt(380) ≈ 19,5, b = sqrt(20) ≈ 4,5.
Периметр треугольника равен a + b + c = 19,5 + 4,5 + 20 = 44 см.
