Вопрос школьника
Медіана трикутника ABC розбиває його на два трикутники, периметри яких piвнi. Доведіть, що трикутник ABC рівнобедрений.
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі використаємо властивості медіани трикутника. Медіана трикутника — це відрізок, який з’єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони.
Позначимо медіану трикутника ABC через м, а точку перетину медіани зі стороною BC через D. Тоді за властивостями медіани ми знаємо, що довжина відрізка BD дорівнює довжині відрізка CD, тобто BD = CD.
Оскільки медіана розбиває трикутник на дві частини з однаковими периметрами, то можна записати наступну рівність:
AB + AC + 2BD = BC + 2CD + AC
Або ж, після спрощення:
AB — BC = CD — BD
Але ми знаємо, що BD = CD, тому можемо записати:
AB — BC = 0
Отже, AB = BC, тобто трикутник ABC є рівнобедреним.
Отже, ми довели, що якщо медіана трикутника розбиває його на два трикутники з однаковими периметрами, то трикутник є рівнобедреним.
