Вопрос школьника
Медиана ВМ треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону ВС в её середине. Длина стороны АС равна 7. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.
Ответ от учителя
Медиана ВМ треугольника ABC является диаметром описанной окружности, пересекающей сторону ВС в её середине. Пусть точка пересечения медианы ВМ и стороны АС равна D. Тогда, так как медиана ВМ является диаметром описанной окружности, то угол ВДМ прямой.
Также из условия задачи следует, что точка D является серединой стороны АС, то есть AD = DC = 3. Тогда, применяя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике ВДМ, получаем:
BM² = BD² + DM²
Но так как угол ВДМ прямой, то BD = BM/2, а DM = AM/2, где AM — медиана АН треугольника ABC. Тогда:
BM² = (BM/2)² + (AM/2)²
4BM² = BM² + AM²
3BM² = AM²
BM = AM/√3
Так как медиана АН также является высотой треугольника ABC, то AM² = AB² — BM², где AB — сторона треугольника. Подставляя выражение для BM, получаем:
AM² = AB² — (AM/√3)²
AM² = AB² — AM²/3
4AM²/3 = AB²
AM = √(3/4) AB
Так как сторона АС равна 7, то AB = AC = BC = 2AC = 14/√3. Тогда радиус описанной окружности равен:
R = AB/2 = 7/√3
Ответ: радиус описанной окружности треугольника ABC равен 7/√3.
