Вопрос школьника
Медианы AA1, BB1 и CC1 треугольника ABC пересекаются в точке M, точки A2, B2 и C2 — середины отрезков A1M, B1M и C1M. Используя центральное подобие, докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что точка M является центром масс треугольника ABC, так как медианы делят каждый из отрезков в соотношении 2:1. Также заметим, что отрезки A1M, B1M и C1M являются сторонами треугольника A1B1C1.
Рассмотрим центральное подобие, которое переводит треугольник ABC в треугольник A1B1C1. Так как точка M является центром масс треугольника ABC, то центральное подобие переводит точку M в центр масс треугольника A1B1C1, то есть в точку O, которая является точкой пересечения медиан треугольника A1B1C1.
Теперь рассмотрим отрезки A2O, B2O и C2O. Они являются сторонами треугольника A2B2C2, так как точка O является серединой каждого из отрезков A1M, B1M и C1M. Таким образом, мы получили, что треугольник A2B2C2 является подобным треугольнику A1B1C1 с коэффициентом подобия 1/2 (так как отрезки A2O, B2O и C2O являются половинами отрезков A1M, B1M и C1M).
Таким образом, мы доказали, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны с коэффициентом подобия 1/2, используя центральное подобие и свойства медиан треугольника.
