Вопрос школьника
Медианы AD и BE равностороннего треугольника ABC пересекаются п точке Н. Найдите углы; 1) треугольника АНЕ; 2) треугольника АНВ
Ответ от учителя
Для решения задачи нам понадобится знание о свойствах равностороннего треугольника и медиан.
1) Треугольник АНЕ
Поскольку треугольник ABC равносторонний, то медианы AD и BE являются биссектрисами углов A и B соответственно. Также известно, что медианы пересекаются в точке H, которая является центром масс треугольника ABC.
Таким образом, точка H делит медиану AD в отношении 2:1, то есть AH = 2HD. Аналогично, BH = 2HE.
Рассмотрим треугольник АНЕ. Известно, что точка Н является точкой пересечения медиан, то есть точкой пересечения биссектрис углов A и B. Значит, угол HAN равен углу HBN, то есть они равны между собой.
Также мы знаем, что AH = 2HD и HE = HB/2. Поскольку треугольник ABC равносторонний, то AD = BD = CD = BE = CE = AE. Значит, угол HAE равен углу HBE, а угол HCE равен углу HAE.
Таким образом, мы получили, что угол HAN равен углу HBN, а угол HAE равен углу HBE, а угол HCE равен углу HAE. Из этого следует, что углы треугольника АНЕ равны между собой и составляют по 60 градусов.
2) Треугольник АНВ
Аналогично предыдущему пункту, мы можем использовать свойства медиан и равностороннего треугольника, чтобы найти углы треугольника АНВ.
Известно, что точка Н является точкой пересечения медиан, то есть точкой пересечения биссектрис углов A и B. Значит, угол HAN равен углу HBN, а угол HBN равен углу HAN.
Также мы знаем, что BH = 2HE и AD = BD = CD = BE = CE = AE. Значит, угол HBE равен углу HAE, а угол HCE равен углу HAE.
Таким образом, мы получили, что угол HAN равен углу HBN, а угол HBE равен углу HAE, а угол HCE равен углу HAE. Из этого следует, что углы треугольника АНВ равны между собой и составляют по 120 градусов.
