Вопрос школьника
Медианы АЕ i CF, проведенные к боковым сторонам ВС i AB равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Докажите, что треугольник АМС равнобедренный
Ответ от учителя
Для доказательства равнобедренности треугольника АМС необходимо и достаточно показать, что AM = CM.
Рассмотрим треугольник АВМ. Поскольку медиана АЕ проведена к боковой стороне ВС, то она делит сторону ВС пополам, то есть ВЕ = ЕС. Также, по определению медианы, АМ = МЕ.
Рассмотрим теперь треугольник СМС’. Поскольку медиана CF проведена к боковой стороне АВ, то она делит сторону АВ пополам, то есть АС = С’F. Также, по определению медианы, СМ = МF.
Из этих двух равенств следует, что АМ + СМ = МЕ + МF. Но по определению точки М, МЕ = МF, поэтому АМ + СМ = 2МЕ. Таким образом, АМ = СМ, что и требовалось доказать.
Таким образом, треугольник АМС является равнобедренным, и его боковые стороны АМ и СМ равны.
