Вопрос школьника
Медианы BN и CK треугольника ABC пересекаются в точке M, SABC = 60 см2. Найдите: а) SAKC; б) SKBM; в) SBMC; г) SAKMN. Докажите, что при любом значении SABC верно, что SBMC = SAKMN
Ответ от учителя
Для начала, рассмотрим определение медианы треугольника. Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Таким образом, медианы BN и CK пересекаются в точке M, которая является серединой стороны AB и стороны AC соответственно.
а) Для нахождения площади треугольника AKC нам нужно знать длину медианы CK. По теореме о медиане треугольника, длина медианы CK равна половине длины стороны AB. Таким образом, CK = AB/2. Аналогично, длина медианы BN равна половине длины стороны AC, то есть BN = AC/2.
Теперь мы можем найти площадь треугольника AKC, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:
S(AKC) = (1/2) * AK * CK * sin(∠AKC)
Заметим, что ∠AKC = ∠ABC, так как медиана CK является высотой треугольника ABC, а медиана BN является медианой. Таким образом, sin(∠AKC) = sin(∠ABC).
Теперь мы можем выразить AK через стороны треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
AK^2 = AB^2 — BK^2
Но мы знаем, что BK = CN, так как медианы BN и CK пересекаются в точке M. Таким образом, BK = CN = (1/2) * AC.
Подставляя все значения в формулу для площади треугольника AKC, получаем:
S(AKC) = (1/2) * √(4AB^2 — AC^2) * (AB/2) * sin(∠ABC)
S(AKC) = (1/4) * AB^2 * sin(∠ABC)
Но мы знаем, что ∠ABC = 60 градусов, так как SABC = 60 см2. Таким образом,
S(AKC) = (1/4) * AB^2 * sin(60 градусов) = (1/4) * AB^2 * √3/2 = AB^2 * √3/8
б) Аналогично, для нахождения площади треугольника SKB нам нужно знать длину медианы BM. По теореме о медиане треугольника, длина медианы BM равна половине длины стороны AC. Таким образом, BM = AC/2.
Теперь мы можем найти площадь треугольника SKB, используя формулу для площади треугольника через две стороны и угол между ними:
S(SKB) = (1/2) * SK * KB * sin(∠SKB)
Заметим, что ∠SKB = ∠ABC, так как медиана BM является высотой треугольника ABC, а медиана BN является медианой. Таким образом, sin(∠SKB) = sin(∠ABC).
Теперь мы можем выразить SK через стороны треугольника ABC, используя теорему Пифагора:
SK^2 = AB^2 — BK^2
Но мы знаем, что BK = CN, так как медианы BN и CK пересекаются в точке M. Таким образом, BK = CN = (1/2) * AC.
Подставляя все значения в формулу для площади треугольника SKB, получаем:
S(SKB) = (1/2) * √(4AB^2 — AC^2) * (AB/2) * sin(∠ABC)
S(SKB) = (1/4) * AB^2 * sin(∠ABC)
Но мы знаем, что ∠ABC = 60 градусов, так как SABC = 60 см2. Таким образом,
S(SKB) = (1/4) * AB^2 * sin(60 градусов) = (1/4) * AB^2 * √3/2 = AB^2 * √3/8
в) Площадь треугольника SBM равна половине произведения длин медиан BM и BS. Таким образом,
S(SBM) = (1/2) * BM * BS
Но мы знаем, что BM = AC/2 и BS = AB/2, так как медианы BN и CK пересекаются в точке M. Таким образом,
S(SBM) = (1/2) * (AC/2) * (AB/2) = SABC/4
г) Площадь треугольника SAKM равна половине произведения длин медиан AM и SK. Таким образом,
S(SAKM) = (1/2) * AM * SK
Но мы знаем, что AM = BM = AC/2, так как точка M является серединой стороны AC. Таким образом,
S(SAKM) = (1/2) * (AC/2) * SK = S(SBM)
Таким образом, мы доказали, что S(SBM) = S(SAKM) при любом значении SABC. Это происходит потому, что точка M является серединой стороны AC, а медианы BN и CK пересекаются в точке M. Таким образом, треугольники SBM и SAKM равны по двум сторонам и углу между ними, что означает равенство их площадей.
