Вопрос школьника
Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны 10√10 см и 25 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ от учителя
Медиана, проведенная к катету, делит его на две равные части. Поэтому мы можем представить наш треугольник как два прямоугольных треугольника, каждый из которых имеет медиану, равную половине медианы исходного треугольника.
Таким образом, мы можем найти длину медианы, проведенной к гипотенузе, используя теорему Пифагора:
$m^2 = frac{a^2 + b^2}{2} — frac{c^2}{4}$
где $m$ — длина медианы, $a$ и $b$ — длины катетов, $c$ — длина гипотенузы.
Подставляя известные значения, получаем:
$10^2 cdot 2 = frac{a^2 + 25^2}{2} — frac{c^2}{4}$
$200 = frac{a^2 + 625}{2} — frac{c^2}{4}$
$400 = a^2 + 625 — frac{c^2}{2}$
$-frac{c^2}{2} = a^2 — 225$
$c^2 = 450$
$c = 15sqrt{2}$
Теперь мы можем найти площадь треугольника, используя формулу:
$S = frac{1}{2} cdot c cdot m$
где $m$ — длина медианы, проведенной к гипотенузе.
Подставляя известные значения, получаем:
$S = frac{1}{2} cdot 15sqrt{2} cdot frac{10sqrt{10}}{2}$
$S = frac{75sqrt{5}}{2}$
$S = 37.5sqrt{5}$
Ответ: площадь треугольника равна 37.5√5 квадратных сантиметров.
