Вопрос школьника
Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катету и гипотенузе, соответственно равны 5√109 см и 5√61 см. Найдите площадь треугольника.
Ответ от учителя
Медиана, проведенная к катету, делит его на две равные части, а медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее на две равные части. Пусть катеты треугольника равны $a$ и $b$, а гипотенуза равна $c$. Тогда по теореме Пифагора $c^2=a^2+b^2$.
Пусть $m_1$ и $m_2$ — медианы, проведенные к катету и гипотенузе соответственно. Тогда по формуле для медианы к катету $m_1=frac{1}{2}sqrt{2b^2+2c^2-a^2}=5sqrt{109}$, а по формуле для медианы к гипотенузе $m_2=frac{1}{2}sqrt{2a^2+2b^2-c^2}=5sqrt{61}$.
Из первого уравнения получаем $a^2+c^2=4m_1^2-2b^2=4cdot 109cdot 5^2-2b^2$, а из второго уравнения $2a^2+2b^2=4m_2^2+2c^2=4cdot 61cdot 5^2+2c^2$. Подставляем первое уравнение во второе и получаем $2(4cdot 109cdot 5^2-2b^2)+2b^2=4cdot 61cdot 5^2+2c^2$, откуда $c^2=4cdot 109cdot 5^2+4cdot 61cdot 5^2-2cdot 4cdot 109cdot 5^2=2cdot 109cdot 5^2+4cdot 61cdot 5^2=2cdot 5^2(109+4cdot 61)=2cdot 5^2cdot 433$.
Таким образом, $c=10sqrt{433}$. Площадь треугольника равна $frac{1}{2}ab=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}csqrt{c^2-4m_1^2}cdot sqrt{c^2-4m_2^2}=frac{1}{2}cdot frac{1}{2}cdot 10sqrt{433}cdot sqrt{2cdot 109cdot 5^2}cdot sqrt{2cdot 61cdot 5^2}=5cdot 109cdot 61=332090$.
Ответ: площадь треугольника равна 332090 квадратных сантиметров.
