Вопрос школьника
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M. Медиану BN продлили за точку N на треть ее длины. Получили отрезок ND, где ND = 1/3 BN Периметр треугольника DMC равен 42 см. Найдите периметр треугольника, составленного из медиан треугольника ABC.
Ответ от учителя
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, которая является центром тяжести треугольника. Таким образом, медиана BN делит медиану AM в отношении 2:1. Пусть AM = 2x, тогда BN = 3x.
Мы знаем, что ND = 1/3 BN, то есть ND = x. Таким образом, BD = BN + ND = 4x.
Так как точка D делит медиану BN в отношении 1:3, то точка D находится на расстоянии 1/4 от вершины B до точки N. Таким образом, AD = 3/4 AB.
Так как точка M является центром тяжести треугольника ABC, то AM = 2/3 MD. Таким образом, MD = 3/2 AM = 3x.
Так как периметр треугольника DMC равен 42 см, то мы можем записать уравнение:
DM + MC + CD = 42
Заменяем значения:
3x + MC + x = 42
4x + MC = 42
MC = 42 — 4x
Так как точка M является центром тяжести треугольника ABC, то MC = 2/3 MB. Таким образом, MB = 3/2 MC = 63 — 6x.
Также мы знаем, что AB = 2 AM = 4x.
Теперь мы можем найти периметр треугольника, составленного из медиан треугольника ABC:
P = AM + BM + CM
P = 2x + (63 — 6x) + (42 — 4x)
P = 105 — 8x
Таким образом, периметр треугольника, составленного из медиан треугольника ABC, равен 105 — 8x.
