Вопрос школьника
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, площадь треугольника ABM равна S. Найдите площадь треугольника ABC.
Ответ от учителя
Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, AM = 2/3 * BM и CM = 2/3 * BM.
Площадь треугольника ABM равна S, поэтому мы можем выразить BM через S и стороны треугольника ABC:
S = 1/2 * AM * BM
S = 1/2 * (2/3 * BM) * BM
S = 1/3 * BM^2
Отсюда получаем, что BM = √(3S).
Теперь мы можем выразить стороны треугольника ABC через BM:
AM = 2/3 * BM = 2/3 * √(3S)
CM = 2/3 * BM = 2/3 * √(3S)
BC = 2 * BM = 2 * √(3S)
Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:
S(ABC) = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
где p — полупериметр треугольника, a, b, c — стороны треугольника.
Подставляем выражения для сторон треугольника ABC:
p = (AM + BM + CM)/2 = (√(3S) + 2/3 * √(3S) + 2/3 * √(3S))/2 = √(3S)
a = BC = 2 * √(3S)
b = AM = 2/3 * √(3S)
c = CM = 2/3 * √(3S)
Подставляем значения в формулу Герона:
S(ABC) = √(p(p-a)(p-b)(p-c))
S(ABC) = √(√(3S)(√(3S)-2/3 * √(3S))(√(3S)-2/3 * √(3S))(√(3S)-2/3 * √(3S)))
S(ABC) = √(3S/4 * 3S/4 * 3S/4)
S(ABC) = 3/4 * S
Таким образом, площадь треугольника ABC равна 3/4 от площади треугольника ABM:
S(ABC) = 3/4 * S.
