Вопрос школьника
Многоугольник имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 60°. Какое наименьшее число сторон может иметь этот многоугольник? Можно ли утверждать, что у него есть по крайней мере ещё одна ось симметрии?
Ответ от учителя
Если многоугольник имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 60°, то он обязательно является правильным шестиугольником. Это можно показать следующим образом:
— Пусть у многоугольника есть оси симметрии AB и CD, пересекающиеся под углом 60° (см. рисунок).
— Так как оси симметрии пересекаются под углом 60°, то они делят многоугольник на 12 равных частей (6 по каждой оси).
— Рассмотрим одну из этих частей, например, треугольник ABE. Он является равносторонним, так как имеет две оси симметрии, а значит, все его стороны и углы равны.
— Аналогично, все остальные треугольники, образованные осью симметрии и сторонами многоугольника, также являются равносторонними.
— Значит, все стороны многоугольника равны между собой, и он является правильным шестиугольником.
Ответ: наименьшее число сторон у многоугольника, имеющего две оси симметрии, пересекающиеся под углом 60°, равно 6.
Что касается второй части вопроса, то нельзя утверждать, что у такого многоугольника есть ещё одна ось симметрии. Например, правильный шестиугольник имеет только две оси симметрии, пересекающиеся под углом 60°, и не имеет других осей симметрии.
