Вопрос школьника
Могут ли быть целыми числами корни приведённого квадратного уравнения х2 + рх + q = 0, если р и q: а) целые числа; б) рациональные числа?
Ответ от учителя
а) Если р и q — целые числа, то корни приведенного квадратного уравнения могут быть целыми числами только в том случае, если дискриминант D = p^2 — 4q является квадратом целого числа. Действительно, формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид x1,2 = (-p ± √D)/2, и если D является квадратом целого числа, то √D — целое число, и x1,2 — целые числа.
б) Если р и q — рациональные числа, то корни приведенного квадратного уравнения могут быть рациональными числами или иррациональными числами. Например, уравнение x^2 — 2 = 0 имеет корень √2, который является иррациональным числом. Однако, если корни уравнения являются рациональными числами, то они должны быть взаимно простыми, т.е. не иметь общих делителей, кроме единицы. Это следует из теоремы о рациональных корнях, которая утверждает, что если рациональное число a/b является корнем многочлена с целыми коэффициентами, то a должно быть делителем свободного члена, а b — делителем старшего коэффициента.
