Вопрос школьника
Моторная лодка, отплывая от пристани А, обгоняет плывущие по реке плоты. Через 2 ч лодка у пристани В поворачивает назад к пристани А. Обратный путь занимает 6 ч. Сколько времени плывут от А до В плоты? Через какое время после отплытия от пристани А лодка опять встретится с ними?
Ответ от учителя
Пусть скорость лодки относительно воды равна $v_л$, а скорость течения реки равна $v_р$. Тогда скорость лодки относительно берега при движении вверх по течению будет равна $v_л — v_р$, а при движении вниз по течению — $v_л + v_р$.
Пусть $t$ — время, которое плоты плывут от пристани А до В. За это время они пройдут расстояние $d = (v_л — v_р) cdot t$. Пусть $d_1$ — расстояние, на которое лодка обогнала плоты. За 2 часа лодка пройдет расстояние $d_1 = (v_л + v_р) cdot 2$. За 6 часов лодка пройдет расстояние $d_2 = (v_л — v_р) cdot 6$ от пристани В до места, где она обогнала плоты.
Таким образом, мы получаем систему уравнений:
$$
begin{cases}
d = (v_л — v_р) cdot t \
d_1 = (v_л + v_р) cdot 2 \
d_2 = (v_л — v_р) cdot 6 \
end{cases}
$$
Решая эту систему, можно найти значения $v_л$ и $v_р$, а затем искомое время $t$.
Выразим $v_л$ из уравнений для $d_1$ и $d_2$:
$$
begin{cases}
d_1 = (v_л + v_р) cdot 2 \
d_2 = (v_л — v_р) cdot 6 \
end{cases}
Rightarrow
begin{cases}
v_л = frac{d_1}{2} — frac{d_2}{6} \
v_р = frac{d_1}{2} + frac{d_2}{6} \
end{cases}
$$
Подставляем найденные значения $v_л$ и $v_р$ в уравнение для $d$:
$$
d = (v_л — v_р) cdot t = left(frac{d_1}{2} — frac{d_2}{6} — frac{d_1}{2} — frac{d_2}{6}right) cdot t = -frac{d_2}{3} cdot t
$$
Отсюда получаем, что $t = -frac{3d}{d_2}$. Заметим, что знак минус в формуле для $t$ не имеет значения, так как мы ищем только модуль времени.
Таким образом, ответ на первый вопрос: плоты плывут от пристани А до В время $t = frac{3d}{d_2}$.
Чтобы найти время, через которое лодка встретится с плотами после отплытия от пристани А, нужно найти время, за которое лодка пройдет расстояние $d_1 + d$. Это можно сделать, зная скорость лодки относительно берега при движении вниз по течению: $v_л + v_р$. Таким образом, время встречи будет равно:
$$
t_в = frac{d_1 + d}{v_л + v_р} = frac{(v_л + v_р) cdot 2 — frac{d_2}{3} cdot frac{3d}{d_2}}{v_л + v_р} = 2 — frac{d}{d_2}
$$
Ответ на второй вопрос: лодка встретится с плотами через время $t_в = 2 — frac{d}{d_2}$.
