Вопрос школьника
Может ли наибольший общий делитель двух натуральных чисел:
1) быть больше одного из этих чисел;
2) равняться одному из этих чисел;
3) равняться большему из чисел;
4) равняться меньшему из чисел;
5) быть меньше каждого из этих чисел? Ответы объясните и подтвердите примерами.
Ответ от учителя
1) Наибольший общий делитель двух натуральных чисел не может быть больше одного из этих чисел. Это следует из определения наибольшего общего делителя: это наибольшее натуральное число, которое делит оба числа без остатка. Если наибольший общий делитель был бы больше одного из чисел, то это означало бы, что это число не является наибольшим общим делителем.
2) Наибольший общий делитель двух натуральных чисел может равняться одному из этих чисел. Например, НОД(6,6) = 6.
3) Наибольший общий делитель двух натуральных чисел не может равняться большему из чисел. Это следует из определения наибольшего общего делителя: он должен быть делителем обоих чисел, а большее число не может быть делителем меньшего числа.
4) Наибольший общий делитель двух натуральных чисел не может равняться меньшему из чисел. Это следует из определения наибольшего общего делителя: он должен быть делителем обоих чисел, а меньшее число не может быть делителем большего числа.
5) Наибольший общий делитель двух натуральных чисел может быть меньше каждого из этих чисел. Например, НОД(8,12) = 4, что меньше и 8, и 12.
Таким образом, наибольший общий делитель двух натуральных чисел не может быть больше одного из этих чисел, не может равняться большему или меньшему числу, но может равняться одному из этих чисел или быть меньше каждого из них.
