Вопрос школьника
Можно ли утверждать, что:
а) если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции;
б) если средняя линия трапеции равна ее высоте, то такая трапеция равнобедренная?
Ответ от учителя
а) Да, можно утверждать, что если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее средняя линия равна высоте трапеции. Для доказательства этого факта можно воспользоваться свойством равнобедренной трапеции, согласно которому ее диагонали равны. Пусть AB и CD — диагонали равнобедренной трапеции ABCD, пересекающиеся в точке O. Тогда, по определению, средняя линия трапеции — это отрезок MN, соединяющий середины боковых сторон AB и CD. Поскольку диагонали перпендикулярны, то каждая из них делит трапецию на два прямоугольных треугольника. В этих треугольниках высота, проведенная к гипотенузе, является средней линией. Таким образом, высоты треугольников, образованных диагоналями, равны и равны средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна высоте.
б) Нет, нельзя утверждать, что если средняя линия трапеции равна ее высоте, то такая трапеция равнобедренная. Для опровержения этого утверждения достаточно привести пример неравнобедренной трапеции, у которой средняя линия равна высоте. Например, рассмотрим трапецию ABCD, у которой основания AB и CD имеют длины 6 и 10 соответственно, а боковые стороны AD и BC — длины 4 и 4. Тогда высота трапеции, проведенная из вершины A, равна 4, а средняя линия MN, соединяющая середины боковых сторон AD и BC, также равна 4. Однако, по определению, равнобедренная трапеция имеет равные основания, что в данном случае не выполняется.
