Вопрос школьника
Мяч бросают вертикально вверх с поверхности Земли со скоростью 5 м/с. Как изменится высота подъёма мяча, если его массу увеличить в 2 раза при прочих неизменных условиях? Сопротивлением воздуха пренебречь.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и импульса.
Из закона сохранения энергии следует, что полная механическая энергия системы (мяч + Земля) должна сохраняться во все моменты времени. При броске мяча вертикально вверх его кинетическая энергия превращается в потенциальную энергию, а при падении обратно на землю потенциальная энергия превращается в кинетическую. Таким образом, можно записать уравнение сохранения энергии:
mgh = (1/2)mv^2,
где m — масса мяча, g — ускорение свободного падения, h — высота подъема мяча, v — скорость мяча на максимальной высоте.
Из закона сохранения импульса следует, что импульс системы также должен сохраняться. При броске мяча вертикально вверх его импульс равен mv, а при падении обратно на землю импульс равен -mv. Таким образом, можно записать уравнение сохранения импульса:
mv = -mv,
где знак минус означает, что направление импульса при падении обратно на землю противоположно направлению импульса при броске мяча вверх.
Из уравнения сохранения энергии можно выразить высоту подъема мяча:
h = (1/2)(v^2/g).
Из уравнения сохранения импульса можно выразить скорость мяча на максимальной высоте:
v = (mv0)/(2m),
где v0 — начальная скорость мяча при броске вверх.
Подставляя выражение для скорости мяча на максимальной высоте в уравнение для высоты подъема мяча, получаем:
h = (1/8)(v0^2/g).
Таким образом, высота подъема мяча зависит от начальной скорости мяча и ускорения свободного падения. При увеличении массы мяча в 2 раза при прочих неизменных условиях начальная скорость мяча останется прежней, а ускорение свободного падения также не изменится. Следовательно, высота подъема мяча не изменится и останется равной (1/8)(v0^2/g).
