Вопрос школьника
На боковой стороне CD трапеции ABCD, в котором BC : AD = 1 : 3 и AB = AD, отмечена точка M так, что CM : MD = 2 : 3. Докажите, что BD ⊥ AM.
Ответ от учителя
Для начала заметим, что треугольник ABD является равнобедренным, так как AB = AD. Поэтому углы ABD и ADB равны между собой.
Также заметим, что треугольник BCM подобен треугольнику AMD, так как углы B и D являются соответственными углами, а углы MBC и MAD являются соответственными углами, так как они оба прямые.
Из подобия треугольников BCM и AMD следует, что
$frac{AM}{BC}=frac{MD}{CM}=frac{3}{5}$
Также заметим, что угол BCD является прямым, так как он является углом дуги BC, а дуга BC является частью окружности, которая является прямой.
Теперь рассмотрим треугольник ABM. Из теоремы синусов следует, что
$frac{AM}{sinangle ABM}=frac{AB}{sinangle AMB}$
Так как угол ABM равен углу ADB, а угол AMB равен углу BCM, то
$sinangle ABM=sinangle ADB$
$sinangle AMB=sinangle BCM$
Подставляя эти равенства в предыдущее уравнение, получаем
$frac{AM}{sinangle ADB}=frac{AB}{sinangle BCM}$
$frac{AM}{sinangle ADB}=frac{AB}{sinangle BCD}$
Так как AB = AD, то
$frac{AM}{sinangle ADB}=frac{AD}{sinangle BCD}$
$frac{AM}{BD}=frac{3}{sqrt{10}}$
Таким образом, мы получили, что
$frac{AM}{BD}=frac{3}{sqrt{10}}$
А это означает, что BD ⊥ AM, так как в прямоугольном треугольнике ABD угол B равен углу ADB, а угол AMB равен углу BCM, и поэтому угол AMB является дополнительным к углу BCD.
