Вопрос школьника
На боковых сторонах AB и AC равнобедренного треугольника ABC отмечены такие точки P и Q, что ∠PMB = ∠QMC, где M – середина основания BC. Докажите, что BQ = CP.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники BMP и CQM. Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как BM = CM (как середины сторон AB и AC), ∠PMB = ∠QMC (по условию) и ∠BMP = ∠CQM (как вертикальные углы). Следовательно, третья сторона также равна: BP = CQ.
Теперь рассмотрим треугольники BPC и CQB. Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как BP = CQ (как мы только что доказали), BC общая сторона, и ∠BPC = ∠CQB (как вертикальные углы). Следовательно, третья сторона также равна: BQ = CP.
Таким образом, мы доказали, что BP = CQ и BQ = CP, что означает, что BQ = CP.
