Вопрос школьника
На боковых сторонах BA и BC равнобедренного треугольника ABC с углом B, равным 20°, отмечены соответственно точки Q и P так, что ∠ACQ = 60° и ∠CAP = 50°. Найдите угол APQ.
Ответ от учителя
Для решения задачи воспользуемся свойствами треугольника и теоремой синусов.
Заметим, что треугольник ABC является равнобедренным, поэтому углы BAC и BCA равны между собой. Так как сумма углов треугольника равна 180°, то ∠BAC = ∠BCA = (180° — ∠B)/2 = 80°.
Также заметим, что треугольник ACQ является равносторонним, поэтому ∠CAQ = ∠CQA = 60°.
Теперь применим теорему синусов к треугольнику APQ:
sin(APQ)/AQ = sin(AQP)/AP
Заметим, что AQ = AC, так как треугольник ACQ равносторонний. Также заметим, что ∠AQP = ∠CAQ — ∠CAP = 60° — 50° = 10°.
Подставляя известные значения, получаем:
sin(APQ)/AC = sin(10°)/AP
sin(APQ) = AC*sin(10°)/AP
Осталось найти значения AC и AP. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника ABC:
AC/sin(80°) = BC/sin(20°)
AC = BC*sin(80°)/sin(20°)
Также заметим, что треугольник ACP является прямоугольным, поэтому AC = AP*cos(50°).
Подставляя известные значения, получаем:
AP*cos(50°) = BC*sin(80°)/sin(20°)
AP = BC*sin(80°)/(sin(20°)*cos(50°))
Теперь можем выразить sin(APQ):
sin(APQ) = (BC*sin(80°)*sin(10°))/(sin(20°)*cos(50°)*AP)
Подставляя известные значения, получаем:
sin(APQ) = (sin(80°)*sin(10°))/(2*sin(20°)*cos(50°))
Используя тригонометрические тождества, можно упростить выражение:
sin(APQ) = (sin(80°)*sin(10°))/(sin(70°)*sin(40°))
sin(APQ) = (sin(80°)*sin(10°))/(cos(20°)*cos(50°))
sin(APQ) = (sin(80°)*sin(10°))/(sin(70°)*sin(40°))
sin(APQ) ≈ 0.342
Таким образом, угол APQ ≈ arcsin(0.342) ≈ 20.1°. Ответ: угол APQ ≈ 20.1°.
