Вопрос школьника
На данной окружности отметьте точки А, В и С так, чтобы корда АВ была равной радиусу окружности. Найдите угол АСВ. Сколько решений имеет задача?
Ответ от учителя
Для решения задачи нужно нарисовать окружность и отметить на ней точку O — центр окружности. Затем провести радиус ОА и построить на нем точку В так, чтобы ОВ было равно ОА. Точка С должна находиться на окружности и лежать на продолжении ОВ.
Таким образом, получаем треугольник ОАВ, в котором ОА = ОВ, а значит, угол ОАВ равен 60 градусов (так как треугольник ОАВ является равносторонним).
Далее, чтобы найти угол АСВ, нужно заметить, что треугольник ОСВ является прямоугольным (так как ОВ — радиус окружности, а СВ — ее хорда, проходящая через центр). Значит, угол АСВ равен углу ОСВ, который можно найти по теореме Пифагора:
ОС² = ОВ² + СВ²
Так как ОВ = ОА, то ОВ² = ОА² = R², где R — радиус окружности. Также, так как СВ = 2R (так как СВ — диаметр окружности), то СВ² = (2R)² = 4R².
Подставляя эти значения в формулу, получаем:
ОС² = R² + 4R² = 5R²
Отсюда:
ОС = R√5
Теперь можно найти синус угла ОСВ:
sin(ОСВ) = СВ/ОС = 2R/(R√5) = 2/√5
Отсюда:
ОСВ = arcsin(2/√5) ≈ 53,13 градусов
Таким образом, угол АСВ равен 53,13 градусов.
Задача имеет только одно решение, так как точки А, В и С должны лежать на одной окружности, а значит, расположены определенным образом относительно друг друга.
