Вопрос школьника
На диафрагму с диаметром отверстия D=1,96 мм падает нормально параллельный пучок монохроматического света (λ=600 нм). При каком наибольшем расстоянии ℓ между диафрагмой и экраном в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пятно?
Ответ от учителя
Для определения наибольшего расстояния ℓ между диафрагмой и экраном, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре дифракционной картины, необходимо воспользоваться формулой для расчета минимального угла дифракции:
sinθ = λ/D
где θ — угол дифракции, λ — длина волны света, D — диаметр отверстия в диафрагме.
Для того, чтобы в центре дифракционной картины было темное пятно, необходимо, чтобы на экране суммарная амплитуда всех волн, испытавших дифракцию на диафрагме, была равна нулю. Это происходит, когда разность хода между соседними волнами, прошедшими через отверстие, равна половине длины волны:
Δ = λ/2
Разность хода можно выразить через угол дифракции и расстояние ℓ между диафрагмой и экраном:
Δ = Dsinθ = λ/2
Dsin(λ/D) = λ/2
sin(λ/D) = λ/2D
λ/D = arcsin(λ/2D)
D = λ/(2sin(λ/D))
Подставляя значения λ и D, получаем:
D = 1,96 мм
λ = 600 нм = 0,6 мкм
D = 1,96 * 10^-3 м
λ/D = 0,6 * 10^-6 / 1,96 * 10^-3 = 3,06 * 10^-4
arcsin(λ/2D) = arcsin(0,6 * 10^-6 / (2 * 1,96 * 10^-3)) = 0,015 рад
sin(λ/D) = sin(0,015) = 0,00026
Dsin(λ/D) = 1,96 * 10^-3 * 0,00026 = 5,1 * 10^-7 м
Таким образом, наибольшее расстояние ℓ между диафрагмой и экраном, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре дифракционной картины, равно 5,1 * 10^-7 м.
