Вопрос школьника
На диагонали BD квадрата ABCD отметили точку Е так, что DE = AD. Через точку Е проведена прямая, которая перпендикулярна прямой BD и пересекает сторону АВ в точке F. Докажите, что AF = ЕЕ = BE.
Ответ от учителя
Рассмотрим треугольники ADE и BDE. Они равнобедренные, так как DE = AD и BE = BD. Значит, у них равны основания AE и BE, а также углы AED и BED.
Так как прямая, проходящая через точку Е и перпендикулярная BD, пересекает сторону АВ в точке F, то EF является высотой треугольника AFB. Значит, угол AEF прямой, а угол AFB равен 90 градусам.
Также заметим, что угол AED равен углу BED, так как треугольники ADE и BDE равнобедренные. Значит, угол AEB равен 90 градусам.
Теперь рассмотрим треугольник AEB. У него два угла, равные 90 градусам (AEB и AFB), значит, третий угол также равен 90 градусам. Значит, треугольник AEB является прямоугольным.
Так как AE = BE (они равны основаниям равнобедренных треугольников), а угол AEB равен 90 градусам, то треугольник AEB является равнобедренным. Значит, EE является высотой этого треугольника, а значит, AE = BE = EE.
Также заметим, что треугольники AEF и BDF подобны, так как у них соответственные углы равны (угол AEF равен углу BDF, так как они смежные вертикальные углы, а угол AFB равен 90 градусам, а значит, угол BDF также равен 90 градусам). Значит, соотношение сторон в этих треугольниках также равно: AF/BD = EF/ED.
Так как BD = AE + DE = AE + AD, то EF/ED = AF/BD = AF/(AE + AD). Но мы уже знаем, что AE = BE = EE, а также что DE = AD. Значит, BD = 2AE + DE = 3AE, а AF = EF * (AE + AD)/ED = EE * (2AE + AD)/AD = EE * (2 + AD/AE). Но AD/AE = DE/AE + 1 = 2, так как DE = AD. Значит, AF = EE * (2 + 2) = 4EE.
Таким образом, мы получили, что AF = 4EE, а также что AE = BE = EE. Значит, AF = EE = BE.
