Вопрос школьника
На диагонали ВО параллелограмма ABCD отметили произвольную точку О и провели через неё прямые МК и EF, параллельные сторонам AD и АВ соответственно, Докажите, что четырёхугольники AMOF и OECK равновелики
Ответ от учителя
Для доказательства равновеликости четырёхугольников AMOF и OECK нужно показать, что они имеют равные площади.
Рассмотрим треугольники AOM и EOK. Они равны по двум сторонам и углу между ними, так как углы МК и EF параллельны сторонам AD и АВ соответственно. Значит, углы AOM и EOK также равны. Таким образом, треугольники AOM и EOK подобны.
Поэтому отношение площадей треугольников AOM и EOK равно квадрату отношения их сторон:
S(AOM) / S(EOK) = (AO / EO)²
Аналогично, рассмотрим треугольники FOB и DCO. Они также равны по двум сторонам и углу между ними, так как углы МК и EF параллельны сторонам AD и АВ соответственно. Значит, углы FOB и DCO также равны. Таким образом, треугольники FOB и DCO подобны.
Поэтому отношение площадей треугольников FOB и DCO равно квадрату отношения их сторон:
S(FOB) / S(DCO) = (BO / CO)²
Так как стороны AO и CO равны (они являются диагоналями параллелограмма), то отношение площадей треугольников AOM и EOK равно отношению площадей треугольников FOB и DCO:
S(AOM) / S(EOK) = S(FOB) / S(DCO)
Учитывая, что четырёхугольники AMOF и OECK состоят из двух треугольников, получаем:
S(AMOF) = S(AOM) + S(FOB) = S(EOK) + S(DCO) = S(OECK)
Таким образом, четырёхугольники AMOF и OECK имеют равные площади и, следовательно, равновелики.
