Вопрос школьника
На диаметре AB отмечена точка C. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром BC в точках P и Q соответственно. Докажите, что ∠BED = ∠BQP и ∠BDE = ∠BPQ.
Ответ от учителя
Для доказательства равенства углов ∠BED и ∠BQP рассмотрим треугольники BDE и BPQ. Они имеют общий угол в точке B и соответственно равным углам ∠BED и ∠BQP. Также у них есть равные углы ∠BDE и ∠BPQ, так как это соответственные углы при параллельных прямых BD и PQ. Поэтому треугольники BDE и BPQ подобны по двум углам, что означает, что соответствующие стороны пропорциональны. В частности, BD/BP = DE/PQ.
Аналогично, для доказательства равенства углов ∠BDE и ∠BPQ рассмотрим треугольники BDE и BPQ. Они имеют общий угол в точке B и соответственно равным углам ∠BDE и ∠BPQ. Также у них есть равные углы ∠BED и ∠BPQ, так как это соответственные углы при параллельных прямых BD и PQ. Поэтому треугольники BDE и BPQ подобны по двум углам, что означает, что соответствующие стороны пропорциональны. В частности, DE/PQ = BE/BQ.
Из этих двух пропорций следует, что BD/BP = BE/BQ, что означает, что треугольники BDP и BEQ подобны. Следовательно, ∠BQP = ∠BED и ∠BPQ = ∠BDE, что и требовалось доказать.
