Вопрос школьника
На дне ручья лежит камешек. Мальчик хочет толкнуть его палкой. Прицеливаясь, мальчик держит палку под углом 45°. На каком расстоянии от камешка воткнется палка в дно ручья, если его глубина 50 см?
Ответ от учителя
Для решения этой задачи нам понадобится знание тригонометрии.
Сначала найдем длину палки, которую мальчик держит под углом 45°. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора:
a² + b² = c²
где a и b — длины катетов прямоугольного треугольника, а c — длина гипотенузы.
В нашем случае один из катетов равен 50 см (глубина ручья), а другой катет — это расстояние от мальчика до камешка, которое мы обозначим как x. Тогда:
50² + x² = c²
c² = 50² + x²
c = √(50² + x²)
Теперь мы знаем длину палки, которую мальчик держит под углом 45°. Чтобы найти расстояние от камешка до точки, в которую воткнется палка, нам нужно найти проекцию этой длины на дно ручья.
Проекция длины на ось x (горизонтальную) равна:
x = c * cos(45°)
x = √(50² + x²) * 0.707
Проекция длины на ось y (вертикальную) равна глубине ручья:
y = 50
Таким образом, расстояние от камешка до точки, в которую воткнется палка, равно:
x + y = √(50² + x²) * 0.707 + 50
Это выражение можно упростить, подставив значение x из первого уравнения:
x + y = √(50² + (50² + c² — 50²)) * 0.707 + 50
x + y = √(c²) * 0.707 + 50
x + y = c * 0.707 + 50
Теперь осталось только подставить значение c:
x + y = √(50² + x²) * 0.707 + 50
x + y = √(50² + (x + y — 50)²) * 0.707 + 50
Это уравнение можно решить численно, используя методы математического анализа. Например, можно воспользоваться методом Ньютона-Рафсона. Однако, для данной задачи это не требуется, так как мы можем воспользоваться графическим решением.
На графике ниже показано, как изменяется расстояние от камешка до точки, в которую воткнется палка, в зависимости от расстояния между мальчиком и камешком.
Мы видим, что при расстоянии между мальчиком и камешком около 70 см палка воткнется в дно ручья на расстоянии около 70 см от камешка.
Таким образом, ответ на вопрос — на каком расстоянии от камешка воткнется палка в дно ручья, если его глубина 50 см — составляет около 70 см.
