Вопрос школьника
На дне сосуда, заполненного воздухом, находится стальной полый шарик радиусом r = 2 см и массой m1 = 5⋅10 − 3 кг. Какое давление нужно создать в сосуде, чтобы шарик «всплыл»? Процесс изменения состояния газа проходит по изотермическому закону при температуре t = 20 0С.
Ответ от учителя
Для того, чтобы шарик всплыл, необходимо создать давление, которое превышает давление атмосферы на высоте расположения шарика в сосуде. Давление атмосферы на высоте h можно вычислить по формуле:
P = P0 — ρgh,
где P0 — давление атмосферы на уровне моря (101325 Па), ρ — плотность воздуха (1,29 кг/м³ при температуре 20°C), g — ускорение свободного падения (9,81 м/с²), h — высота расположения шарика в сосуде.
Для того, чтобы шарик всплыл, давление в сосуде должно быть больше давления атмосферы на высоте расположения шарика. Таким образом, необходимо найти минимальное давление в сосуде, при котором шарик начнет подниматься.
Для этого воспользуемся законом Архимеда:
Fарх = ρжидкости * Vпогруженной * g,
где Fарх — сила Архимеда, ρжидкости — плотность жидкости, в которую погружен шарик (в данном случае — плотность воздуха), Vпогруженной — объем шарика, погруженного в жидкость (в данном случае — объем шарика), g — ускорение свободного падения.
Так как шарик полый, то его объем можно вычислить по формуле:
Vшарика = (4/3)πr³ — (4/3)πr₁³,
где r — радиус шарика, r₁ — радиус полости шарика.
Подставляя значения, получаем:
Vшарика = (4/3)π(0,02)³ — (4/3)π(0,01)³ = 2,09 * 10⁻⁵ м³.
Таким образом, сила Архимеда, действующая на шарик, равна:
Fарх = 1,29 * 2,09 * 10⁻⁵ * 9,81 = 2,68 * 10⁻⁴ Н.
Для того, чтобы шарик начал подниматься, сила Архимеда должна превышать силу тяжести шарика:
Fтяж = m₁g = 5 * 10⁻³ * 9,81 = 4,91 * 10⁻² Н.
Таким образом, необходимое давление в сосуде можно вычислить по формуле:
P = Fарх / S,
где S — площадь основания шарика.
Площадь основания шарика равна:
S = πr² = π(0,02)² = 1,26 * 10⁻³ м².
Подставляя значения, получаем:
P = 2,68 * 10⁻⁴ / 1,26 * 10⁻³ = 0,213 Па.
Таким образом, необходимо создать давление в сосуде, превышающее давление атмосферы на высоте расположения шарика на 0,213 Па, чтобы шарик начал подниматься.
