Вопрос школьника
На двух сторонах треугольника вне его построены квадраты. Докажите, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, в два раза больше медианы треугольника, выходящей из той же вершины.
Ответ от учителя
Пусть дан треугольник ABC и построены квадраты ABDE и ACFG вне треугольника. Пусть точка M — середина стороны BC, а точка N — точка пересечения отрезка EG и прямой AM.
Так как ABDE — квадрат, то угол BAD равен 90 градусам, а значит, угол BAN также равен 90 градусам. Таким образом, AM является медианой треугольника ABC, выходящей из вершины A.
Также заметим, что треугольники ABN и ACF подобны, так как у них соответственные углы равны (угол ABN равен углу ACF, так как они смежные и оба равны углу BAC, а угол ANB равен углу AFC, так как они вертикальные). Таким образом, мы можем записать:
AB/AC = AN/AF
AB = AN * AC / AF
Аналогично, треугольники ABN и ADE подобны, так как у них соответственные углы равны (угол ABN равен углу ADE, так как они смежные и оба равны углу BAC, а угол ANB равен углу AED, так как они вертикальные). Таким образом, мы можем записать:
AB/AD = AN/AE
AB = AN * AD / AE
Сравнивая эти два выражения для AB, получаем:
AN * AC / AF = AN * AD / AE
AF * AD = AE * AC
Теперь заметим, что треугольники AMN и AED подобны, так как у них соответственные углы равны (угол AMN равен углу AED, так как они смежные и оба равны углу BAC, а угол ANM равен углу ADE, так как они вертикальные). Таким образом, мы можем записать:
MN/AD = AN/AE
MN = AN * AD / AE
Теперь подставляем это выражение для MN в формулу, полученную выше:
AF * MN = AE * AC
AF * (AN * AD / AE) = AE * AC
AF * AN * AD = AE * AE * AC
AN * AD = AE * AC / AF
Таким образом, мы доказали, что отрезок, соединяющий концы сторон квадратов, выходящих из одной вершины треугольника, равен двум медианам треугольника, выходящим из той же вершины.
