Вопрос школьника
На экваторе некой планеты тела весят в два раза меньше, чем на полюсах. Период собственного вращения равен Т. Определить величину средней плотности вещества планеты, считая её однородным шаром.
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать формулу для силы тяжести на поверхности шара:
F = G * M * m / r^2,
где F — сила тяжести, G — гравитационная постоянная, M — масса планеты, m — масса тела, r — радиус планеты.
Также известно, что на экваторе тела весят в два раза меньше, чем на полюсах. Это означает, что сила тяжести на экваторе в два раза меньше, чем на полюсах:
F_э = F_п / 2,
где F_э — сила тяжести на экваторе, F_п — сила тяжести на полюсах.
Из формулы для силы тяжести на поверхности шара можно выразить массу планеты:
M = F * r^2 / G * m.
Подставляя силу тяжести на экваторе и на полюсах, получаем:
M = F_э * r^2 / G * m = (F_п / 2) * r^2 / G * m.
Также известно, что период собственного вращения планеты равен Т. Это означает, что скорость вращения на экваторе планеты больше, чем на полюсах:
v_э = 2 * pi * r / T,
v_п = pi * r / T,
где v_э — скорость вращения на экваторе, v_п — скорость вращения на полюсах.
Из формулы для центробежной силы можно выразить массу планеты:
M = F_c / a,
где F_c — центробежная сила, a — ускорение центробежной силы.
Подставляя скорость вращения на экваторе и на полюсах, получаем:
M = m * v_э^2 / (2 * r * G) = m * v_п^2 / (r * G).
Сравнивая два выражения для массы планеты, получаем:
(F_п / 2) * r^2 / G * m = m * v_п^2 / (r * G).
Отсюда можно выразить радиус планеты:
r = (3 * v_п^2 / F_п)^(1/3) * (G / 4 * pi^2)^(1/3).
Из формулы для объема шара можно выразить массу планеты:
M = 4/3 * pi * r^3 * rho,
где rho — плотность вещества планеты.
Подставляя выражение для радиуса планеты, получаем:
M = 4/3 * pi * [(3 * v_п^2 / F_п)^(1/3) * (G / 4 * pi^2)^(1/3)]^3 * rho.
Отсюда можно выразить плотность вещества планеты:
rho = 3 * M / (4 * pi * r^3).
Подставляя выражение для массы планеты, получаем:
rho = 3 * m * v_п^2 / (4 * pi * F_п).
Таким образом, величина средней плотности вещества планеты равна 3 * m * v_п^2 / (4 * pi * F_п).
