Вопрос школьника
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечена точка E, а на катете AC — точка D так, что DE || BC. Найдите периметр треугольника ABC, если AE = 15 мм, BE = 20 мм и DE = DC.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольник ABC прямоугольный, поэтому мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Также, из условия DE || BC, мы можем заключить, что треугольники ADE и ABC подобны, поэтому:
$frac{AE}{AB} = frac{AD}{AC}$
$frac{15}{AB} = frac{AD}{AC}$
$AD = frac{15AC}{AB}$
Также, из условия DE = DC, мы можем заключить, что треугольник ACD равнобедренный, поэтому:
$AC = CD$
Теперь мы можем выразить AC через AB и решить систему уравнений:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$AD = frac{15AC}{AB}$
$AC = CD$
Подставляем третье уравнение во второе:
$AD = frac{15CD}{AB}$
$AB^2 = CD^2 + BC^2$
$CD = AC = frac{AB}{2}$
$AD = frac{15CD}{AB}$
$AD = frac{15AB}{2AB}$
$AD = frac{15}{2}$
Теперь мы можем выразить BC через AB:
$AB^2 = (frac{AB}{2})^2 + BC^2$
$AB^2 = frac{AB^2}{4} + BC^2$
$BC^2 = frac{3AB^2}{4}$
$BC = frac{sqrt{3}AB}{2}$
Теперь мы можем выразить периметр треугольника ABC через AB:
$P = AB + AC + BC$
$P = AB + frac{AB}{2} + frac{sqrt{3}AB}{2}$
$P = 2AB + frac{sqrt{3}AB}{2}$
$P = AB(2 + frac{sqrt{3}}{2})$
Теперь мы можем подставить известные значения AE и BE:
$AE^2 + BE^2 = AB^2$
$15^2 + 20^2 = AB^2$
$AB = 25$
$P = 25(2 + frac{sqrt{3}}{2})$
$P approx 67.68$ мм
Ответ: периметр треугольника ABC равен примерно 67.68 мм.
