Вопрос школьника
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC отмечены такие точки D и E, что BD = BC и AE = AC. Найдите угол DCE.
Ответ от учителя
Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то по теореме Пифагора имеем AB^2 = AC^2 + BC^2. Также, по условию BD = BC и AE = AC, следовательно, AD = AB — BD = AB — BC и CE = AB — AE = AB — AC.
Рассмотрим треугольник ACD. По теореме косинусов имеем:
cos(DCE) = (AC^2 + CE^2 — AE^2) / (2 * AC * CE)
Подставляем значения CE и AE:
cos(DCE) = (AC^2 + (AB — AC)^2 — AC^2) / (2 * AC * (AB — AC))
Упрощаем:
cos(DCE) = (AB — AC) / AB
Теперь заменяем AB на значение из теоремы Пифагора:
cos(DCE) = (AB — AC) / sqrt(AC^2 + BC^2)
Таким образом, мы получили выражение для cos(DCE) через стороны треугольника ABC. Осталось только подставить значения AC и BC из условия задачи:
cos(DCE) = (AB — AC) / sqrt(AC^2 + BC^2) = (AB — AC) / sqrt(2 * AC^2) = (AB — AC) / (AC * sqrt(2))
Но мы знаем, что AD = AB — BC и CD = AC — BD = AC — BC, поэтому AB — AC = AD — CD. Подставляем это в выражение для cos(DCE):
cos(DCE) = (AD — CD) / (AC * sqrt(2))
Теперь осталось заметить, что треугольник ACD тоже является прямоугольным, поэтому AD^2 = AC^2 — CD^2. Подставляем это в выражение для cos(DCE):
cos(DCE) = (sqrt(AC^2 — CD^2) — CD) / (AC * sqrt(2))
Но мы знаем, что CD = AC — BC, поэтому:
cos(DCE) = (sqrt(AC^2 — (AC — BC)^2) — (AC — BC)) / (AC * sqrt(2))
Упрощаем:
cos(DCE) = (sqrt(2 * AC * BC) — (AC — BC)) / (AC * sqrt(2))
cos(DCE) = (BC / AC)
Таким образом, мы получили, что cos(DCE) = BC / AC. Из этого следует, что угол DCE равен углу между сторонами BC и AC, то есть углу BAC.
Ответ: угол DCE равен углу BAC.
