Вопрос школьника
На гипотенузе АВ равнобедренного прямоугольного треугольника АС В выбраны такие точки М и N, что градусная мера угла MCN равна 45°. Докажите, что из отрезков AM, MN, BN можно составить треугольник и что он будет прямоугольным.
Ответ от учителя
Пусть длина гипотенузы АВ равна с, а катеты АС и ВС равны d. Так как треугольник АСВ равнобедренный, то d = c/√2.
Пусть точка М делит гипотенузу АВ на отрезки АМ и МВ, длины которых равны а и b соответственно. Точка N делит катет ВС на отрезки ВN и NC, длины которых также равны а и b.
Так как угол MCN равен 45°, то треугольник MCN является равнобедренным, а значит, отрезки MC и NC равны между собой. Также, так как угол МАС прямой, то треугольник МАС прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора, а² + d² = а² + МС², откуда МС² = d².
Аналогично, так как угол ВНС прямой, то треугольник ВНС прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора, b² + d² = b² + НС², откуда НС² = d².
Таким образом, получаем, что МС² = НС², то есть отрезки МС и НС равны между собой. Значит, треугольник МНС является равнобедренным.
Теперь осталось доказать, что треугольник МНА является прямоугольным. Для этого заметим, что угол МНА равен 90°, так как он является дополнительным к углу МНС, который равен 45°. Также, по теореме Пифагора, а² + МН² = а² + МС² + НС² = 2d², откуда МН² = d².
Таким образом, треугольник МНА является прямоугольным, а отрезки AM, MN и BN могут быть использованы для построения этого треугольника.
