Вопрос школьника
На гладкое проволочное кольцо радиуса R надет маленький шарик. Кольцо вместе с шариком вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр кольца, с угловой скоростью w. Найти положение шарика на кольце.
Ответ от учителя
Положение шарика на кольце можно найти, используя геометрические соображения и законы движения вращательного тела.
Рассмотрим кольцо и шарик вместе как одно вращательное тело. Тогда угловая скорость вращения этого тела будет равна w. Также известно, что радиус кольца равен R.
Положение шарика на кольце можно определить, зная угол, на который повернулось вращательное тело относительно начального положения. Этот угол можно выразить через время, которое прошло с начала вращения.
Для этого воспользуемся формулой для угла поворота вращательного тела:
φ = w*t
где φ — угол поворота, w — угловая скорость вращения, t — время.
Теперь нужно выразить положение шарика на кольце через угол поворота. Для этого воспользуемся теоремой косинусов для треугольника, образованного радиусом кольца, линией, соединяющей центр кольца и шарик, и отрезком, соединяющим центр кольца и точку на кольце, ближайшую к шарику.
Пусть угол между радиусом кольца и линией, соединяющей центр кольца и шарик, равен α. Тогда по теореме косинусов:
cos(α) = (R^2 + r^2 — d^2) / (2*R*r)
где r — радиус шарика, d — расстояние между центром кольца и шариком.
Выразим d через угол α:
d = 2*R*sin(α/2)
Тогда:
cos(α) = (R^2 + r^2 — 4*R^2*sin^2(α/2)) / (2*R*r)
cos(α) = (r^2 — 3*R^2*sin^2(α/2)) / (2*R*r)
cos(α) = (r^2 — 3*R^2*sin^2(φ/2)) / (2*R*r)
Таким образом, зная угол поворота φ, можно вычислить угол α и, соответственно, положение шарика на кольце.
Например, если шарик находится на верхней точке кольца при начале вращения (φ=0), то α=0 и шарик находится на верхней точке кольца. Если же прошло время t=π/2w, то угол поворота φ=π/2 и α=π/3, что означает, что шарик находится на кольце на расстоянии R/2 от верхней точки, находящейся на расстоянии R от центра кольца.
