Вопрос школьника
На какое минимальное расстояние сблизятся при
центральном ударе α – частица и ядро олова? Скорость α –
частицы равна 109 см/с, ее масса – 6,7⋅ 10–24 г. (Ядро олова
считать неподвижным).
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать закон сохранения энергии и закон сохранения импульса.
Из закона сохранения энергии следует, что полная энергия системы до столкновения равна полной энергии системы после столкновения:
E1 = E2
где E1 – полная энергия системы до столкновения, E2 – полная энергия системы после столкновения.
Полная энергия системы до столкновения состоит из кинетической энергии α-частицы и потенциальной энергии взаимодействия α-частицы и ядра олова:
E1 = K1 + U1
где K1 – кинетическая энергия α-частицы, U1 – потенциальная энергия взаимодействия α-частицы и ядра олова.
Полная энергия системы после столкновения состоит из кинетической энергии α-частицы и ядра олова:
E2 = K2
где K2 – кинетическая энергия α-частицы и ядра олова после столкновения.
Из закона сохранения импульса следует, что импульс системы до столкновения равен импульсу системы после столкновения:
p1 = p2
где p1 – импульс системы до столкновения, p2 – импульс системы после столкновения.
Импульс системы до столкновения состоит из импульса α-частицы:
p1 = pα
где pα – импульс α-частицы.
Импульс системы после столкновения состоит из импульса α-частицы и импульса ядра олова:
p2 = pα’ + pSn
где pα’ – импульс α-частицы после столкновения, pSn – импульс ядра олова после столкновения.
Из закона сохранения энергии и закона сохранения импульса можно получить выражение для скорости α-частицы после столкновения:
K1 + U1 = K2
pα = pα’ + pSn
K1 + U1 = (pα’^2/2mα) + (pSn^2/2mSn)
pα’^2 + pSn^2 = pα^2
где mα – масса α-частицы, mSn – масса ядра олова.
Решая данную систему уравнений, можно получить значение скорости α-частицы после столкновения:
pα’ = (pα^2 — pSn^2)^0.5
K1 + U1 = (pα^2/2mα) + (pSn^2/2mSn)
pSn = 0 (так как ядро олова считается неподвижным)
pα’ = pα
K1 + U1 = (pα^2/2mα)
K1 + U1 = (mv^2/2)
где v – скорость α-частицы после столкновения.
Таким образом, минимальное расстояние сближения α-частицы и ядра олова можно определить из выражения для потенциальной энергии взаимодействия α-частицы и ядра олова:
U1 = (q1q2/e)r
где q1 и q2 – заряды α-частицы и ядра олова соответственно, e – элементарный заряд, r – расстояние между α-частицей и ядром олова.
При минимальном расстоянии сближения потенциальная энергия взаимодействия равна кинетической энергии α-частицы после столкновения:
U1 = K2
(mv^2/2) = (q1q2/e)r
r = (mv^2/2q1q2e)
Подставляя известные значения, получаем:
r = (6,7⋅10^-24 г) * (1,09⋅10^7 см/с)^2 / (2 * 2 * 1,6⋅10^-19 Кл^2) = 1,4⋅10^-12 см
Таким образом, минимальное расстояние сближения α-частицы и ядра олова составляет 1,4⋅10^-12 см.
