Вопрос школьника
На катете АС прямоугольного треугольника ABC (Z С = 90°) как на диаметре построена окружность. Найдите длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ, если Z А = 42°, АС = 8 см
Ответ от учителя
Для решения задачи нам нужно найти радиус окружности, построенной на катете АС как на диаметре, а затем вычислить длину дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ.
Радиус окружности, построенной на катете АС как на диаметре, равен половине длины гипотенузы треугольника ABC:
r = AB/2
Для нахождения длины гипотенузы AB воспользуемся теоремой косинусов:
AB^2 = AC^2 + BC^2 — 2*AC*BC*cos(ZА)
AB^2 = 8^2 + BC^2 — 2*8*BC*cos(42°)
AB^2 = 64 + BC^2 — 12.8*BC
Аналогично, для нахождения длины катета ВС воспользуемся теоремой синусов:
BC/sin(ZА) = AC/sin(ZС)
BC/sin(42°) = 8/sin(90°)
BC = 8*cos(42°)/sin(42°)
Теперь можем выразить AB через BC:
AB^2 = 64 + BC^2 — 12.8*BC
AB^2 = 64 + (8*cos(42°)/sin(42°))^2 — 12.8*8*cos(42°)/sin(42°)
AB^2 = 64 + 42.4^2 — 12.8*8*cos(42°)/sin(42°)
AB ≈ 18.6 см
Таким образом, радиус окружности, построенной на катете АС как на диаметре, равен:
r = AB/2 ≈ 9.3 см
Длина дуги этой окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ, равна половине длины окружности, умноженной на угол, под которым эта дуга отсекается от окружности:
L = r*π*(180°-ZА) / 180°
L = 9.3*π*(180°-42°) / 180°
L ≈ 38.5 см
Ответ: длина дуги окружности, которая содержится вне треугольника и отсекается гипотенузой АВ, равна примерно 38.5 см.
