Вопрос школьника
На катете BC и гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC выбраны соответственно такие точки M и N, что AM — биссектриса угла A и MN _1_ BC. Учитывая, что СМ = 5 см и MN = 13 см, найдите стороны треугольника ABC.
Ответ от учителя
Из условия задачи следует, что треугольник ABC прямоугольный, так как AM является биссектрисой угла A. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения сторон треугольника.
Пусть AC = x, BC = y. Тогда AB = √(x² + y²) по теореме Пифагора.
Также из условия задачи известно, что CM = 5 см и MN = 13 см. Мы можем использовать теорему о биссектрисе для нахождения длины AM.
Пусть AM = z. Тогда BM = AB — AM = √(x² + y²) — z.
Так как AM является биссектрисой угла A, то мы можем записать:
z/x = BM/BC
z/x = (√(x² + y²) — z)/y
Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения x и y:
z = 5x/(2x + y)
z = 13y/(2x + y)
5x/(2x + y) = 13y/(2x + y)
5x = 13y
y = 5x/13
Теперь мы можем подставить это значение y во второе уравнение и решить его относительно x:
z = 13y/(2x + y)
z = 65x/(26 + 5x)
13y/(2x + y) = 65x/(26 + 5x)
13y(26 + 5x) = 65x(2x + y)
338y = 325x
x = 338/325 y
Теперь мы можем найти значения x и y:
y = 5x/13
x = 338/325 y
y = 5(338/325)/13 = 2.6 см
x = 338/325 * 2.6 = 2.7 см
Таким образом, стороны треугольника ABC равны AC = 2.7 см, BC = 2.6 см и AB = √(2.7² + 2.6²) ≈ 3.7 см.
