Вопрос школьника
На катушку намотаны четыре невесомых нерастяжимых нити. Угловая скорость катушки равна ω, радиус внутреннего цилиндра равен r, а внешних цилиндров R. Каковы скорости катушки и груза относительно неподвижной системы отсчёта
Ответ от учителя
Для решения этой задачи необходимо использовать закон сохранения момента импульса. Момент импульса системы катушки и груза относительно оси вращения равен сумме моментов импульса каждой нити:
L = Iω = (m1r1^2 + m2r2^2 + m3r3^2 + m4r4^2)ω
где m1, m2, m3, m4 — массы грузов, r1, r2, r3, r4 — расстояния от оси вращения до каждого груза.
Так как нити невесомы и нерастяжимы, то каждый груз движется по окружности с радиусом r1 = r2 = r3 = r4 = R. Тогда момент импульса системы можно переписать в виде:
L = 4mR^2ω
С другой стороны, момент импульса системы равен произведению момента инерции катушки и ее угловой скорости:
L = Iω = (mкатушки(R^2 + r^2))/2 * ω
где mкатушки — масса катушки.
Сравнивая два выражения для момента импульса, получаем:
4mR^2ω = (mкатушки(R^2 + r^2))/2 * ω
Отсюда находим угловую скорость катушки:
ω = 8mR^2 / (mкатушки(R^2 + r^2))
Скорость груза можно найти как произведение угловой скорости на радиус окружности, по которой движется груз:
v = ωR
Таким образом, скорость катушки и груза относительно неподвижной системы отсчета равны:
vкатушки = Rω = 8mR^3 / (mкатушки(R^2 + r^2))
vгруза = ωR = 8mR^2 / (mкатушки(R^2 + r^2))
