Вопрос школьника
На координатній прямій знайдіть таку точку, відстані від якої до точок А і В є рівними, якщо відомо, що точки А і В ділять відрізок MN на три рівні відрізки, а координати кінців цього відрізка: М(-3), N (6,6).
Ответ от учителя
Для розв’язання цієї задачі ми можемо скористатися формулою середньої точки відрізка, яка говорить, що координати середньої точки відрізка з координатами $(x_1, y_1)$ та $(x_2, y_2)$ дорівнюють:
$$left(frac{x_1+x_2}{2}, frac{y_1+y_2}{2}right)$$
За умовою задачі, точки $A$ та $B$ ділять відрізок $MN$ на три рівні відрізки, тому координати точки $A$ дорівнюють:
$$left(-3+frac{1}{3}(6-(-3)), 0+frac{1}{3}(6-0)right) = (1,2)$$
А координати точки $B$ дорівнюють:
$$left(-3+frac{2}{3}(6-(-3)), 0+frac{2}{3}(6-0)right) = (2,4)$$
Тепер нам потрібно знайти таку точку $P$ на координатній прямій, відстані від якої до точок $A$ та $B$ є рівними. Нехай координати точки $P$ дорівнюють $(x,0)$. Тоді відстань від точки $P$ до точки $A$ дорівнює:
$$PA = sqrt{(x-1)^2+2^2}$$
А відстань від точки $P$ до точки $B$ дорівнює:
$$PB = sqrt{(x-2)^2+4^2}$$
Щоб знайти точку $P$, яка задовольняє умову задачі, ми повинні знайти таке значення $x$, при якому $PA=PB$. Для цього ми можемо розв’язати наступне рівняння:
$$(x-1)^2+2^2 = (x-2)^2+4^2$$
Розкриваємо дужки та спрощуємо:
$$x^2-2x+5 = x^2-4x+20$$
$$2x = 15$$
$$x = frac{15}{2}$$
Отже, координати точки $P$ дорівнюють $left(frac{15}{2}, 0right)$. Ця точка знаходиться на відстані $frac{5}{2}$ від точки $A$ та на відстані $frac{5}{2}$ від точки $B$, тому вона задовольняє умову задачі.
