Вопрос школьника
На льдину в виде пластины площадью s = 5 м2 с небольшой высоты падает груз массой m = 80 кг. Вместе с грузом льдина начинает гармонически вертикально перемещаться с периодом Т = 1 с. Какова толщина льдины?
Ответ от учителя
Для решения данной задачи необходимо использовать законы сохранения энергии и движения.
Первым шагом найдем потенциальную энергию груза на высоте, с которой он начинает падать. Пусть эта высота равна h. Тогда потенциальная энергия груза равна mgh, где m — масса груза, g — ускорение свободного падения, h — высота.
Затем груз начинает двигаться с некоторой скоростью, которая увеличивается по мере приближения к льдине. На момент столкновения скорость груза равна нулю, а его кинетическая энергия полностью переходит в потенциальную энергию льдины. Таким образом, потенциальная энергия льдины равна mgh.
Далее льдина начинает колебаться гармонически в вертикальном направлении с периодом Т. Из закона сохранения энергии следует, что потенциальная энергия льдины на максимальной высоте равна кинетической энергии на минимальной высоте. Таким образом, mgh/2 = mv^2/2, где v — максимальная скорость льдины.
Из закона движения гармонического осциллятора следует, что максимальная скорость льдины равна 2πA/T, где A — амплитуда колебаний льдины. Таким образом, mgh/2 = m(2πA/T)^2/2.
Выразим толщину льдины через известные величины. Площадь льдины равна s = Lw, где L — длина льдины, w — ее ширина. Пусть толщина льдины равна d. Тогда объем льдины равен V = Lwd, а ее масса равна m = ρV, где ρ — плотность льда.
Из уравнения mgh/2 = m(2πA/T)^2/2 получаем выражение для толщины льдины: d = h/(2πA/T)^2ρ.
Осталось найти амплитуду колебаний льдины. Для этого воспользуемся законом сохранения энергии на максимальной высоте: потенциальная энергия льдины равна кинетической энергии груза на максимальной скорости. Таким образом, mgh/2 = mv^2/2, откуда v = √(gh).
Из геометрических соображений можно определить, что максимальная высота льдины равна h + d/2. Таким образом, амплитуда колебаний льдины равна A = (h + d/2) — h = d/2.
Подставляя известные величины в выражение для толщины льдины, получаем:
d = h/(2πA/T)^2ρ = h/(2π(d/2)/1)^2ρ = h/(π^2d^2ρ).
Отсюда следует, что толщина льдины равна:
d = √(h/(π^2sρ)).
Таким образом, для решения задачи необходимо знать высоту, с которой груз начинает падать, и плотность льда. Если эти данные известны, то можно легко вычислить толщину льдины.
